ColumnJan Beuving

Wiskundige willekeur kunnen wij helemaal niet aan

In de cd-speler van mijn auto zit een cd met 23 liedjes van cabaretier Kees Torn. (Kees Torn is gelukkig meer dan een cd-speler – zijn pianospel zou anders wel erg eentonig (of nee, tweetonig) worden.) Omdat ik de liedteksten van buiten ken, en de volgorde van de cd ook, staat hij de laatste tijd op de shuffle-stand, wat erop neerkomt dat de cd-speler zelf willekeurig het volgende liedje kiest. Zo word ik weer verrast door welk liedje er komt.

Maar hoe willekeurig is dat willekeurig eigenlijk? Ik rijd meestal korte ritjes waarin me niets geks was opgevallen, maar toen ik laatst lang in de auto zat, drong het tot me door dat het heel lang duurde voor ik hetzelfde liedje nog eens hoorde. Om precies te zijn: 24 liedjes. Ik kreeg eerst, in willekeurige volgorde, alle 23 liedjes te horen. Dat kon geen toeval zijn, zei mijn intuïtie.

Kans van 1 op 800.000.000

Stel je voor dat je 23 ballen in een vaas doet, genummerd van 1 tot 23, en daar 23 keer een bal uit trekt, het nummer opschrijft, en vervolgens de bal weer terugstopt. Hoe groot is de kans dat je dan na 23 keer alle 23 nummers precies één keer getrokken hebt? Ik heb het even uitgerekend: ongeveer 1 op 800.000.000. Het zou dus wel heel toevallig zijn als het bij mijn eerste lange autorit gelijk raak was.

Wat blijkt: het algoritme dat de willekeurigheid waarborgt, kiest niet na elk liedje opnieuw. Het bepaalt één keer een willekeurige volgorde voor de 23 liedjes op de cd, en die volgorde wordt achter elkaar afgespeeld. Steeds als ik mijn cd-speler uitzet en weer aanzet, wordt een nieuwe volgorde bepaald. Daarom kon ik in twee korte ritjes soms hetzelfde nummer horen, op de heen- en terugweg naar de benzinepomp bijvoorbeeld.

De waarheid is dat we waarschijnlijk helemaal niet blij zouden worden van een écht willekeurige keuze. Je zou dan heel vaak dezelfde liedjes vlak achter elkaar horen, of zelfs direct achter elkaar. Wij mensen kunnen wiskundige willekeur helemaal niet aan, en daarom hebben we een comfortabele willekeur ingeprogrammeerd.

Briljant versje

Kees Torn is overigens ook een behendige shuffelaar, maar dan met woorden. Ontegenzeggelijk briljant is zijn versje Pat: ‘Hij wist niet wat hij zonder sigaretten / Of wat hij zonder schaken moest beginnen / Hij schaakte om de zinnen te verzetten / En rookte om de zetten te verzinnen’. Als je precies kijkt, verwisselt Kees hier overigens geen hele woorden. Zinnen wordt verzinnen, en verzetten wordt zetten. In een ander versje doet hij dat wel: ‘Weet jij niets van schadeposten? / Nou dan doen we het toch samen / Jij zegt wat die ramen kosten / Dan zal ik de kosten ramen’.

Als je twee woorden hebt, zoals hier kosten en ramen, zijn er precies twee verschillende volgordes te ­bedenken waarin ze kunnen staan. Wiskundigen noemen ‘kosten ­ramen’ een permutatie van ‘ramen kosten’. Als er drie elementen in een verzameling zijn, zeg a, b en c, dan zijn er zes verschillende permutaties. Dat is redelijk eenvoudig in te zien: voor de eerste positie heb je drie keuzes, voor de tweede positie zijn er nog twee over, en bij de laatste is er nog maar één om uit te kiezen. Het aantal mogelijkheden is dus 3x2x1. Je kunt het bij zo’n klein aantal ook uitschrijven: abc, acb, bac, bca, cab en cba.

Vertalen we dat naar de taal, probeerde ik een versje te maken waarin drie woorden (mollen, altijd, gieren) in al hun permutaties voorkomen:

Als boeren grond bewerken hoor je mollen altijd gieren.
Dat kietelt altijd. Mollen gieren dus als blije dieren.
Als boeren altijd gieren, mollen zij de grond, helaas.
En mollen gieren altijd levend vee? Nee, liever aas.
Dus gieren mollen altijd lijken, maar, dat is het dolle:
Wanneer het om muziek gaat willen gieren altijd mollen.

Bij vier woorden zijn er 4x3x2x1 = 24 volgordes te maken – dat is een heel lied. Misschien dat Kees Torn al ‘klaar is Kees’ kan zeggen, maar deze Jan nog niet.

Jan Beuving is wiskundige en cabaretier. Hij speelt in zijn column met natuurwetenschappen en taal. Lees hier zijn eerdere columns

Meer over

Wilt u iets delen met Trouw?

Tip hier onze journalisten

Op alle verhalen van Trouw rust uiteraard copyright. Linken kan altijd, eventueel met de intro van het stuk erboven.
Wil je tekst overnemen of een video(fragment), foto of illustratie gebruiken, mail dan naar copyright@trouw.nl.
© 2020 DPG Media B.V. - alle rechten voorbehouden