Column Jan Beuving

Denken over dekpunten

Ik stond laatst langs het voetbalveld van BVV ’31 in Blaricum toen ik moest denken aan Bertus Brouwer, een van de grootste Nederlandse wiskundigen. Het meest vermaard is hij om zijn dekpuntstelling. Wat is een dekpunt? Om het héél versimpeld (en dus wiskundig rommelig) weer te ­geven: Brouwer bewees dat als je een ruimte op zichzelf afbeeldt, er altijd minimaal één punt is dat op zichzelf terechtkomt. In het Engels heet zo’n dekpunt een fixed point, een term die de lading misschien beter dekt.

Die ruimte die je op zichzelf afbeeldt moet dan wel aan bepaalde ­eigenschappen voldoen (je moet er bijvoorbeeld afstanden in kunnen meten), en die afbeelding moet ‘continu’ zijn, wat (even simplistisch ­gezegd weer) betekent dat die ­afbeelding geen gekke sprongen mag vertonen, maar een beetje ‘glad’ moet zijn. Vergelijk het even met een knoflookteen: die kun je in stukjes hakken met een klein mesje, maar ook kneuzen onder een groot mes. Dat kneuzen is een veel continuere beweging dan het hakken.

Hoogste tijd voor een voorbeeld. Laten we als ruimte een krantenpagina nemen. Stel dat we die spiegelen in de horizontale lijn die deze pagina in twee helften verdeelt. Dat spiegelen is een voorbeeld van een continue afbeelding. Alle punten in de bovenste helft komen dan terecht in de onderste, en andersom. Maar: alle punten die op die lijn liggen, blijven waar ze waren. Die lijn bestaat dus uit allemaal dekpunten.

Paginapunt linksboven

Maar, denkt u nu, ik kan de pagina ook 180 graden draaien! Dan komt de paginapunt linksboven rechtsonder terecht, en alle punten op de pagina komen in een ander kwart dan waar ze begonnen. Alle punten? Nee, één klein punt blijft moedig weerstand bieden aan de omwenteling: het punt midden op de pagina. Dat is het dekpunt. Maar als we na die draai nu dat ene dekpunt ook nog even verwisselen met een van de hoekpunten, dan is toch ieder punt ergens anders? Ja, dat klopt, maar dan is de afbeelding niet ‘continu’ meer. Na het kneuzen heeft u toch nog even dat kleine mesje gebruikt.

Waarom moest ik hier nu aan denken bij dat voetbalveld? Niet omdat ik jarenlang verdediger was en leerde dat het beste dekpunt aan de binnenkant was, maar omdat er een scorebord langs het veld stond. De cijfers werden opgebouwd uit 7 ledstreepjes, die aan of uit konden. (Zie de afbeelding hieronder) Bij een 8 zijn alle 7 streepjes aan, bij een 1 zijn er twee aan, enzovoort. Toen dacht ik: is er een cijfer dat gelijk is aan het aantal streepjes dat ervoor moet branden? Dat is dan een soort dekpunt! Voor een 2 heb je 5 streepjes nodig, voor een 3 ook, maar een 4 bestaat uit 4 streepjes! En 5 uit 5, en 6 uit 6. Brouwer zou er vast van genoten hebben, en dat had ook gekund, want bij het schrijven van dit stukje kwam ik ­erachter dat hij in Blaricum woonde! Alleen overleed hij in 1966, en toen stond dat scorebord er nog niet.

Beeld Sander Soewargana

Anagrammen

In de taal zou je ook op zoek kunnen naar dekpunten als je anagrammen bestudeert. Een anagram is in feite een afbeelding van alle letters van een woord op dezelfde ruimte. Alleen is die ruimte niet wiskundig. Bij zuurkool en koolzuur is er dus niet één dekpunt: alle letters zijn op een andere plek terecht gekomen. Maar bij ‘kleine kielen’ zijn er twee dekpunten: de k en de (eerste) e blijven op hun plek. Je zou ook ‘kleine (2)’ kunnen schrijven, als je er een puzzel van maakt, waarbij het cijfer tussen haakjes het aantal dekpunten is in het anagram dat erna komt. Het was geen sterke (2) dat Ed (0) oude nestor (0) wilde. Ik trof in het paviljoen (3)eumokokkenpatiënten. Trouwens, bij de kantine van BVV hingen ijzeren planken, de onderste (0).

Ik zou dolgraag onderzoek doen naar dit soort dekpunten, toch een beetje de zwarte gaten van de taal, maar helaas is mijn subsidieaanvraag door NWO afgewezen. Misschien kan iemand van D66 Kamervragen stellen, zodat de minister me toch nog 2 ton toekent om aan de slag te gaan.

Jan Beuving is wiskundige en cabaretier. Hij speelt in zijn column met natuurwetenschappen en taal.

Meer over

Wilt u iets delen met Trouw?

Tip hier onze journalisten

Op alle verhalen van Trouw rust uiteraard copyright. Linken kan altijd, eventueel met de intro van het stuk erboven.
Wil je tekst overnemen of een video(fragment), foto of illustratie gebruiken, mail dan naar copyright@trouw.nl.
© 2019 DPG Media B.V. - alle rechten voorbehouden