Uw profiel is aangemaakt

U heeft een e-mail ontvangen met een activatielink. Vergeet niet binnen 24 uur uw profiel te activeren. Veel leesplezier!

Hoe vouw je een hoek in drieën?

Samenleving

Daan van Eijk en Jan Beuving

Daan van Eijk © Maartje Geels
DAAN VRAAGT JAN

Daan van Eijk en Jan Beuving vormden samen het (wetenschaps)cabaretduo Jan & Daan. Jan is wiskundige en theatermaker. Daan is natuurkundige aan de University of Wisconsin in Madison, VS. Om de week stellen zij elkaar hier een vraag.

Dag Jan!

Lees verder na de advertentie

Deze week waren mijn vrouw en ik twee jaar getrouwd. Volgens Wikipedia een papieren huwelijk. Ik dacht: leuk om dan een cadeau van papier te geven. Dus toog ik naar de hobbywinkel, kocht wat origami-velletjes en begon met vouwen. En terwijl ik dat deed (heel therapeutisch) begon ik te vermoeden dat achter origami een wereld van wiskunde verscholen moet zitten.

Dat blijkt te kloppen. Zo is er het Maekawa-theorema dat zegt dat voor alle origami-figuren, op elke vertex (het punt waar vouwlijnen samenkomen) het aantal berg- en dalvouwen verschilt met twee. Dat kun je prachtig zien bij papier dat aan beide kanten een andere kleur heeft: het aantal naar buiten uitstekende vouwen (de bergvouwen) van de ene kleur verschilt altijd twee van het aantal naar binnen uitstekende vouwen (de dalvouwen) van de andere kleur.

De toepassingen van origami zijn eindeloos. Heb je weleens bekeken hoe schitterend de vouwen zijn die kartonnen of plastic boodschappentassen plat maken? En zoek op internet eens de zogeheten Miura-vouw op die wordt gebruikt om zonnepanelen van satellieten op te vouwen voor de lancering en te ontvouwen als ze in de ruimte zijn. Geniaal!

En dan was er de mythe dat elk willekeurig papiertje maximaal zeven keer dubbelgevouwen kan worden. Die werd in 2002 ontkracht door een Amerikaanse middelbare scholiere die 1200 meter toiletpapier maar liefst twaalf keer dubbelvouwde. Die 1200 meter was geen gok trouwens. Die had ze van tevoren uitgerekend met een formule waar - aanvankelijk tot mijn verbazing - het getal pi in voorkwam. Dus hierbij een gratis bezigheidstip: in plaats van je telefoon checken tijdens lange wc-bezoeken, benader pi eens met je gevouwen wc-papier!

O ja, en ik kwam nog twee onverwachte toepassingen tegen van origami: je kunt met papiervouwen schijnbaar wiskundige vergelijkingen oplossen. Weet jij hoe dat zit? En ik zag een papierconstructie om een gegeven hoek precies in drieën te delen. Ik weet dat het onmogelijk is om dat te doen als je alleen gebruik mag maken van een passer en liniaal. Dus waarom lukt dat dan wel met papier?

Jan Beuving © Maartje Geels

Daan!

Gefeliciteerd met je trouwdag! En met je net ontdekte nieuwe onderzoeksveld. Wat een enthousiasme!

Ik ging eerst aan de slag met dat Maekawa-theorema, omdat ik het niet begreep. Immers, als ik een vierkant velletje twee keer dubbelvouw (eerst een keer, dan uitklappen, een kwartslag draaien, en dan nog eens), dan krijg ik een vertex waar vier dalvouwen en nul bergvouwen (of andersom) samenkomen. Een verschil van 4! Maar, zo bleek me, ik speel dan niet volgens de regels: als je dat doet, heb je een blad waarvan je de vier samenkomende vouwlijnen niet tegelijk vouwen kunt. Om het in elkaar te klappen, moet je altijd een van die vier lijnen andersom vouwen, dan is het 3-1, en dat is een verschil van 2. Een bewijs door praktische overtuiging. (De lezer kan dit thuis vouwend met de krant proberen. LET OP: als u de krant digitaal leest, kan het ernstige schade aan uw tablet of smartphone toebrengen.)

Je vraag over de driedeling van de hoek en de wiskundige vergelijkingen is ingewikkelder. Voor de oude Griek Euclides was wiskunde vooral meetkunde. Hij had twee wapens in die meetkunde: passer en liniaal. Daarmee kun je onder andere lijnen loodrecht op elkaar construeren, vierkanten verdubbelen en hoeken in tweeën delen. Maar het lukte Euclides niet om een willekeurige hoek in drie gelijke stukken te delen. Pas meer dan 2000 jaar later bewees Evariste Galois dat dit onmogelijk is met passer en liniaal. Dat is als volgt (onzorgvuldig) in te zien: een lijn heeft één dimensie, en dus een lineaire vergelijking. Een cirkel heeft twee dimensies, en een kwadratische vergelijking. De snijpunten die je daarmee construeert, zijn dus altijd oplossingen van maximaal kwadratische vergelijkingen. Maar je kunt geen willekeurige derdemachtwortels construeren, en die heb je nodig om de hoek in drieën te delen.

Maar nu komt het: door punten op elkaar te vouwen geeft papier je de mogelijkheid om (vouw)lijnen te trekken, die je met passer en liniaal niet construeren kunt. Zo kun je de hoek toch in drieën delen! Helaas voor Euclides had hij nauwelijks papier, en als hij al papyrus bezat, was het te kostbaar om te vouwen. Hij schreef waarschijnlijk op een wastafeltje, een tabula. Maar ook toen was de tablet al onbuigzaam.

Lees hier meer prangende vragen en snedige antwoorden van Daan van Eijk en Jan Beuving.

Lees alle wetenschapsartikelen van Trouw in ons dossier.

Deel dit artikel