Eindexamens

Mexicaanse tempels en vleermuizenpopulaties: is dit de wiskunde die we moeten kennen?

Studenten spijkeren wiskunde bij in het gebouw van het Da Vinci College in Leiden.  Beeld Joris van Gennip
Studenten spijkeren wiskunde bij in het gebouw van het Da Vinci College in Leiden.Beeld Joris van Gennip

Een struikelvak van oudsher lijkt zijn naam weer eer aan te doen. Havisten en vmbo’ers hebben het centraal schriftelijk examen wiskunde achter de rug en beklagen zich in groten getale over de moeilijkheid ervan. Wat maakt het zo moeilijk? En is dat nodig?

Joost van Egmond

Wie weinig geboeid is door het bestaan van de watervleermuis moest wellicht even slikken bij het eindexamen wiskunde voor de vmbo-richtingen gemengde leerweg en theoretische leerweg, kortweg GL en TL. Het eerste blok opgaven was dinsdag aan het beestje gewijd. Niet dat voorkennis van vleermuizenpopulaties vereist was, maar leerlingen werden wel geacht om hun vaardigheden in regressie erop toe te passen. En zo moesten ze ook aan de slag met een regenton, een Mexicaanse tempel en het spelletje ‘torens van Hanoi’. Worden op deze manier de vaardigheden getest die de ruim vijftigduizend kandidaten later nodig hebben?

Iemand die zich vooral bezighoudt met dat vervolg is Oscar Smeets. Hij is docent wiskunde verbonden aan de opleiding Technicus engineering BOL niveau 4, aan de mbo-instelling ROC Midden Nederland. Daar zal hij straks studenten tegenkomen die dit examen hebben gemaakt. Globaal is zijn antwoord een gekwalificeerd ja. “Dit examen dekt de lading wel, het is een goede weergave van wat ze moeten kunnen.”

Moet praktisch altijd talig zijn?

Dat geldt dan in abstracte zin, de wiskunde die je moest toepassen om de vleermuizenpopulatie te berekenen zul je geregeld tegenkomen, ook als je niets met vleermuizen gaat doen. Maar een voortdurend dilemma in wiskunde-onderwijs is de context. Aan de ene kant wil je leerlingen niet in het luchtledige laten rekenen. Zeker in het vmbo – het is niet voor niets voorbereidend beroepsonderwijs – wil je graag de praktische toepassing van wiskundige vaardigheden in zicht houden. Aan de andere kant toetst wiskunde bij uitstek de vaardigheden met getallen en modellen die leerlingen hebben. Het moet niet zo zijn dat er bij wijze van spreken een begrijpend lezen-opdracht vóór de wiskundige opgave ligt, waardoor minder talige leerlingen er niet aan toe komen om te bewijzen dat ze de rekenopdracht aankunnen.

Smeets ziet dat laatste nog geregeld gebeuren, ook nu weer. “Als je naar dit examen kijkt, zijn bijna alle opgaven contextrijk, over vleermuizen en de Giro d’Italia. Dat kan voor leerlingen lastig zijn, terwijl ze wel de stof beheersen.”

Context is verre van neutraal

Sacha van Looveren ziet dat dilemma ook. Zij staat aan de andere kant van de sprong die leerlingen met hun eindexamen maken. Ze is teamleider op de HBM, een mavo in Heemstede, en gaf jarenlang wiskunde. De context waarin een som wordt gegoten is verre van neutraal, merkt ze op. “De hoeveelheid kennis die je hebt over een onderwerp heeft invloed op hoe goed je de toets maakt. Dat zie je bij begrijpend lezen heel sterk. Het maakt veel uit welke tekst je een leerling voorlegt. Dat speelt ook in wiskunde bij de context van een opdracht.”

Toch is zij zeker niet wars van verhaalsommen. “Je kunt je aan de ene kant afvragen of we op die manier bij wiskunde wel het goede meten. Aan de andere kant: we hebben zo’n talige maatschappij. Als je daar later niet in mee kunt ben je verloren. En je wilt ze wel op de maatschappij helpen voorbereiden.”

Hoe het onderwijs zich tot dat dilemma moet verhouden is inzet van een heuse rekenoorlog. Kort gezegd: leren we eerst ‘kale sommen’ en gaan we daarna die vaardigheden in context toepassen, of nemen we die context vanaf het begin mee in ‘verhaaltjessommen’? Van Looveren pleit voor het eerste. “Het blijkt dat context een belasting geeft op het werkgeheugen waardoor je soms niet meer aan het rekenen toekomt. Wij kiezen ervoor om bijvoorbeeld eerst de stelling van Pythagoras kaal te oefenen en nog eens te oefenen tot het automatisme erin zit. Daarna voegen we context toe en moeten leerlingen in een verhaalsom zelf de driehoek gaan vinden waarin ze Pythagoras’ stelling toe moeten passen.”

Toets je wat ze hebben geleerd of wat ze al konden?

In veel contexten lukt dat voor veel leerlingen. Van Looveren noemt als voorbeeld de lengte van een ladder die schuin tegen een huis aan staat. Die zien ze allemaal. Abstraheren is dan ook een vaardigheid die je kunt oefenen. Maar aanleg speelt altijd een rol. In dit examen lijkt vraag 15 daar een goed voorbeeld van. Bij de klachtenlijn van het Landelijk Actie Komitee Scholieren (LAKS), waar kandidaten na afloop hun indruk van het examen konden delen, was dat een van de veelgenoemde vragen.

Opdracht 15 uit het centraal schriftelijk eindexamen voor vmbo GL en TL: bereken de straal van de kleine cirkel in het midden. Beeld cvte
Opdracht 15 uit het centraal schriftelijk eindexamen voor vmbo GL en TL: bereken de straal van de kleine cirkel in het midden.Beeld cvte

De truc is hier om de stelling van Pythagoras te gebruiken om de lengte van de diagonaal te berekenen. Dan is het een kwestie van de bekende doorsnede van de grote cirkel (8 centimeter) ervan af te trekken en het restant te delen door twee, want er blijft immers aan beide zijden van de grote cirkel eenzelfde stukje van het vierkant over. Allemaal vaardigheden die in het tweede leerjaar al aan bod komen, maar je moet het wel zien.

“Deze doet me heel erg denken aan Johan Cruyff”, zegt Van Looveren: “‘Je gaat het pas zien als je het doorhebt.’ Het is een puzzel.” Smeets sluit zich daarbij aan: “Formuletechnisch is het overzichtelijk, je moet alleen zien wat je moet doen.” Het is een goede vraag om erbij te hebben, vindt hij, juist omdat er inzicht wordt gevraagd in plaats van reproductie. “Typisch zo’n vraag die het verschil maakt tussen een 6 en een 8.”

In hoeverre dit inzicht nou te oefenen is, is moeilijk te zeggen, vinden beide docenten. “Je kunt zulke dingen wel aanleren, maar er zullen altijd wel opdrachten blijven die buiten die scope vallen”, denkt Van Looveren. Smeets ziet zijn mbo’ers er soms ook mee worstelen. “Je merkt het als we ze met projecten in het diepe gooien, dan kom je dit soort uitdagingen tegen. De een ziet het dan niet direct, de ander wel. Zo probeer je ze in teamverband in de praktijk te laten leren. Want dit soort inzichten is heel waardevol, maar hoe je het aanleert is een lastige.”

Een extreme opdracht

En dan heb je altijd nog de vragen die helemaal overboord gaan. Kandidaat daarvoor is nummer 18, die heel wat leerlingen als een bliksemschicht trof.

Het komt erop neer dat 264 seconden, een spectaculair groot getal, moet worden omgerekend in miljarden jaren. Smeets: “Je komt toch al niet veel met getaltheorie in aanraking, en dan is dit wel extreem. Ik kan me goed voorstellen dat veel leerlingen achterover gaan zitten en geen idee hebben waar ze moeten beginnen.”

Langer dan het heelal wellicht nog bestaat

Een vraag die dit jaar veel stof deed opwerpen was opdracht 18 van het eindexamen voor vmbo GL en TL. Die luidde als volgt (bron: examenblad.nl)

De Torens van Hanoi is een spel met een aantal schijven. Het doel van het spel is om de complete toren van schijven van het eerste stokje te verplaatsen naar een ander stokje.

Het spel heeft twee regels. Er mag maar één schijf tegelijk verplaatst worden. En er mag nooit een grotere schijf op een kleinere schijf geplaatst worden. De formule hieronder geeft het minimale aantal zetten (verplaatsingen) aan, waarmee je de complete toren van schijven kunt verplaatsen.

z = 2n – 1

Hierin is z het minimale aantal zetten en n is het aantal schijven waarmee het spel gespeeld wordt.

Volgens een legende hielden Indiase priesters zich bezig met het verplaatsen van een toren met 64 gouden schijven. Ga ervan uit dat één zet één seconde duurt. Bereken hoeveel miljard jaar het verplaatsen van deze toren minimaal duurt.

“Miljárd jáár”, benadrukt Van Looveren terwijl ze de vraag hardop leest. “Dan heb je sowieso de groep die even na gaat denken hoeveel nullen een miljard ook alweer heeft. Er zijn hier zo veel stappen waar het mis kan gaan. Je kunt als kind een paniekreactie krijgen bij zo’n som waardoor je geblokkeerd raakt. En dan die informatie over Indiase priesters waar je niets aan hebt. En wat is een legende? Als je dat niet weet, leidt dat ook af. Als je examentraining hebt gehad, dan vul je in ieder geval 264 in, dan krijg je een deel van de punten. Maar op de rekenmachine krijg je dan de wetenschappelijke notatie. Het zijn allemaal dingen waarbij een kind vast kan lopen.”

Met alle focus die er de laatste tijd is op basisvaardigheden in rekenen, rijst de vraag of dit er nu een is. Voor Van Looveren is het duidelijk: nee. “Je hebt in de vragen natuurlijk altijd een mix van reproductie van kennis, van toepassing en van inzicht. Maar dit is typisch een opdracht die je laat doen door leerlingen die meer uitdaging nodig hebben. Als je dit nailt, dan is dat goed voor je zelfvertrouwen, maar de vraag is of je dat in een eindtoets wilt meten. Ik heb niet het antwoord per se, maar ik denk dat je zo’n vraag er net zo goed uit kunt laten.”

De toekomst is praktischer

Voor aanstaande studenten techniek die stukliepen op deze vraag is er goed nieuws; ze zullen dit op het mbo niet krijgen, in ieder geval niet bij Oscar Smeets. “Wij proberen zo realistisch te zijn als het maar kan. Met levensechte projecten die worden aangeboden door regionale bedrijven. En vanuit de problemen die studenten in de praktijk tegenkomen werken we de lessen uit.” Ook dergelijke eindtoetsen zijn weinig aan de orde. “Ik doe helemaal geen lange modules meer. Wekelijks korte blokken met twee toetsvragen aan het einde van iedere les. Zo kan de student ook zelf veel beter de voortgang monitoren. En als ik dan zie dat een grote groep dezelfde fout maakt, dan zie ik gelijk waar ik extra aandacht aan moet besteden.”

Smeets neemt daarbij een vrijheid die er in het vmbo minder is, al benadrukt Van Looveren wel dat “er meer vrijheid is dan we denken. Er zijn kerndoelen en er zijn lesmethodes die daar invulling aan geven, maar je kunt ook eigen keuzes maken om die kerndoelen op een andere manier te halen.”

Dat vraagt veel van docenten, zeker met alle instabiliteit die er nu in de scholen is met de effecten van de pandemie en met het chronische lerarentekort, maar het is wel waar Van Looveren naartoe wil. “We zijn nu vaak bezig met ‘het is behandeld’. Dat is een compleet andere situatie dan ‘ze beheersen het’. Dat laat die vraag met de cirkels bij uitstek zien. De leerling moet wel weten wanneer die wat moet toepassen.”

Een suggestie voor verbetering van de toets heeft Smeets nog wel: “Waarom is het examen voor iedereen hetzelfde? Die leerlingen hebben niet voor niets een profiel gekozen, maak dan ook een examen wiskunde dat op dat profiel is toegesneden. Dan kun je veel beter aansluiten op de belevingswereld van de leerling, en hoef je je niet in vleermuizen te verdiepen als je techniek hebt gekozen.”

Intussen zijn die Indiase monniken nog wel even bezig. Hun potje ‘torens van Hanoi’ duurt ruim 584 miljard jaar.

Lees ook:

Rebecca Cuijpers (17) deed haar eindexamen Nederlands digitaal.

‘Dat werkt stressverlagend, heel fijn’

Meer over

Wilt u iets delen met Trouw?

Tip hier onze journalisten

Op alle verhalen van Trouw rust uiteraard copyright.
Wil je tekst overnemen of een video(fragment), foto of illustratie gebruiken, mail dan naar copyright@trouw.nl.
© 2022 DPG Media B.V. - alle rechten voorbehouden