Wat doet modulair rekenen en waarom duikt het zo vaak op?

Daan van Eijk Beeld Maartje Geels

Daan van Eijk en Jan Beuving vormden samen het (wetenschaps)cabaretduo Jan & Daan. Jan is wiskundige en theatermaker. Daan is natuurkundige aan de University of Wisconsin in Madison, VS. Om de week stellen zij elkaar hier een vraag.

Dag Jan,

De afgelopen weken ben ik verslaafd geraakt aan 'The Americans', een tv-serie over Russische spionnen in de VS tijdens de Koude Oorlog: heerlijk geromantiseerd bingewatch-materiaal. In meerdere afleveringen luisteren de hoofdrolspelers voor het verkrijgen van hun opdrachten naar radio-uitzendingen waarin slechts nummers worden opgenoemd. Ik had daar verder waarschijnlijk nooit meer over nagedacht, als ik afgelopen week niet ook een waanzinnige podcast van Parel Radio (aanrader!) had beluisterd waarin die number stations centraal stonden.

Het is ongelooflijk, maar er zijn op de korte golf nog steeds tamelijk veel obscure radiostations die alleen maar opgelezen nummers uitzenden in de meest uiteenlopende talen. Bijna niemand twijfelt eraan dat dit bedoeld is om geheime boodschappen over te brengen aan spionnen in het buitenland.

Het systeem is briljant in zijn eenvoud en robuustheid: de radiosignalen kunnen vele duizenden kilometers overbruggen zonder tussenkomst van satellieten of internet. En de boodschap is versleuteld, waardoor die betekenisloos is voor iedereen die luistert, behalve voor de persoon die de sleutel bezit. Die kan daarmee veilig uit het zicht het bericht ontcijferen.

De versleuteling werkt als volgt: de verzender gebruikt een lijstje met willekeurige getallen (de sleutel) om het oorspronkelijke bericht te coderen tot een cijferreeks die net zo willekeurig lijkt als de sleutel zelf. Deze cijferreeks wordt verstuurd over de radio. Door gebruik te maken van exact hetzelfde lijstje willekeurige getallen kan de ontvanger het bericht ontsleutelen. Als beide partijen het lijstje slechts één keer gebruiken en direct na gebruik vernietigen, is deze methode absoluut veilig, zo kun je wiskundig bewijzen. Zonder kennis van de sleutel zal zelfs de sterkste supercomputer het gecodeerde bericht nooit kunnen kraken.

Deze en vele andere versleutelingstechnieken hangen sterk af van een wiskundige operatie die de modulo wordt genoemd. Die modulo-operatie duikt trouwens ook op in het dagelijks leven, vaak zonder dat we ons daarvan bewust zijn. Onze tijdsindeling in uren en minuten is een goed voorbeeld, maar ook ritme en maatopdelingen in de muziek kun je beschrijven met behulp van de modulo-operatie.

Kun jij uitleggen wat die doet en waarom deze zo vaak opduikt?

Tekst loopt door onder afbeelding

Jan Beuving Beeld Maartje Geels

Ha Daan.

Op vakantie hadden wij vroeger een analoge kortegolfradio mee. Als een brandkastkraker draaide je aan de knoppen om krakend Radio Tour de France te kunnen horen. Die romantiek is voorbij, want tegenwoordig heb je draadloos internet bij je tent. Maar die oude kortegolftechniek is nog steeds volop in gebruik dus!

De versleuteling van de getallenboodschappen berust inderdaad op modulair rekenen. Dat klinkt ingewikkeld, maar eigenlijk komt het telkens neer op de rest van een deling. Bij modulair rekenen - dat altijd met gehele getallen gaat - stel je een modulus vast. Bijvoorbeeld 8. Van ieder getal haal je vervolgens net zo vaak de modulus af tot je een getal onder de modulus hebt. Je kunt verder gewoon optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen. 6 + 3 is bijvoorbeeld 1 (modulo 8). Immers, 6 + 3 is 9, maar als je die 9 door 8 deelt, heb je een rest van 1. Maar ook 34 + 7 is 1, want 41 heeft ook een rest van 1 als je door 8 deelt. Dat maakt modulair rekenen ook zo aantrekkelijk voor versleutelaars: de onderschepper van een geheime boodschap weet nooit hoe een getal gevormd is. Als hij een 1 opvangt, kan die op oneindig veel manieren gevormd zijn. Alleen de beoogde ontvanger heeft de sleutel.

Een klok is het klassieke voorbeeld van modulair rekenen. Drie uur na elf uur is het twee uur. Dat kun je een kind leren. Maar dat is het klokkijkequivalent van 11 + 3 = 2 (modulo 12). Het is natuurlijk reuzehandig om modulair te tellen bij een klok, anders zou je gigantische getallen krijgen! ('Hoe laat gaat de trein? Om tien over half zevenmiljoendriehonderdenzes!')

Iets soortgelijks geldt voor de dagen van de week. Na zeven dagen zijn we de dagen zat en beginnen we weer vooraan. Handig, want waar je bij getallen zonder modulo-rekening nog zou kunnen doortellen, moet je voor de dagen steeds nieuwe namen verzinnen. Of je moet ze nummeren.

Maar nu ik je toch spreek: 96887 77654 54377 23999 35746 09999 33332 65549 00000. Hoef je je radio niet aan te zetten!

Lees ook: Welk dier kun je zonder wroeging aan de wetenschap offeren?

Waar begint (intelligent) leven? En welk dier mag je zonder gewetensnood aan de wetenschap offeren? Daar gaan Jan Beuving en Daan van Eijk op in.

Meer over

Wilt u iets delen met Trouw?

Tip hier onze journalisten

Op alle verhalen van Trouw rust uiteraard copyright. Linken kan altijd, eventueel met de intro van het stuk erboven.
Wil je tekst overnemen of een video(fragment), foto of illustratie gebruiken, mail dan naar copyright@trouw.nl.
© 2019 DPG Media B.V. - alle rechten voorbehouden