Jan en Daan

Waarom de staat Wisconsin ook wiskundig interessant is

Daan van Eijk (l) en Jan Beuving.

Jan van Eijk en Jan Beuving vormden het (wetenschaps)cabaretduo Jan & Daan. Jan is wiskundige en theatermaker. Daan is natuurkundige aan de University of Wisconsin in Madison, VS. Om de week stellen zij elkaar een vraag.

Dag Jan,

Hieronder zie je een satellietfoto van het zuidwesten van Wisconsin, mijn huidige thuisstaat. Dit gebied wordt de Driftless Area genoemd, een heuvelachtig, bebost gebied dat, in tegenstelling tot het grootste deel van de staat, niet door ijs bedekt is geweest tijdens de ijstijden. Gebieden die wel bedekt waren, werden platgewalst door het ijs, maar dit stuk land, grofweg waar de Wisconsin River in de Mississippi uitmondt, bleef dat bespaard en laat daardoor eeuwenoude door water uitgekerfde structuren zien.

Het patroon dat je van bovenaf in het landschap ziet, lijkt op een fractal. Althans, de vorm van de rivieren en zijtakken die door de heuvels stromen, lijkt op de geometrische figuren waarvan ik heb geleerd dat die fractals heten. De beschrijving van fractals bevat altijd termen als ‘zelfgelijkenis’, in de zin dat de figuur is opgebouwd uit elementen die lijken op de figuur zelf. Dat is tot op zekere hoogte waar voor deze rivierlopen: als je inzoomt op een zijtak, dan heeft die zelf ook weer zijtakken, waarmee dit element uit het geheel dus lijkt op het geheel zelf. Deze zelfgelijkende eigenschap komt veel voor in de natuur: van kustlijnen en gebergten tot de nerven van bladeren en ijsbloemen op de ruiten.

Een van de meest tot de verbeelding sprekende eigenschappen van fractals vind ik dat hun dimensie een niet-geheel getal is. Dat klinkt raar: hoe kan een figuur dat is opgebouwd uit één-dimensionale lijnen als geheel een dimensie hebben die groter is dan 1?

Ik zag nog iets bijzonders op de satellietfoto: het stelsel van heuvels rond de waterlopen lijkt ook de vorm van een fractal te hebben. Met andere woorden: het ‘negatief’ van de landschapsfractal lijkt ook een fractal te zijn. Is dat altijd waar voor wiskundige fractals?
Daan!

Fractal Beeld *

Dag Daan,

Details die weer op het geheel lijken – een fractal is eigenlijk een soort Droste-effect. Eens kijken of ik daar chocola van kan maken. Laten we beginnen met je dimensievraag. Op zich is het niet raar dat eendimensionale zaken, lijnen, iets groterdimensionaals kunnen vormen. Een vierkant is tweedimensionaal, maar opgebouwd uit vier eendimensionale lijnen. Als je van dat vierkant de zijdes twee keer zo lang maakt, wordt de oppervlakte vier keer zo groot. Maar bij sommige fractals is het zo dat het verdubbelen van de gehele lijnlengte een oppervlakte geeft die minder dan 2x2 keer zo groot is. Het zijn dus meetkundig wat ongehoorzame beestjes, die fractals.

Dan de heuvels van Wisconsin. Je noemt die het ‘negatief’, maar wiskundig zou ik dit altijd een ‘complement’ noemen: dat wat overblijft van een verzameling (de staat Wisconsin in jouw geval) als je een deel van die verzameling (de fractale rivierstructuur) eruit haalt. Als je een vierkant uit deze krantenpagina knipt, zie je daarna een krantenpagina met een vierkant eruit. Die verknipte krantenpagina heeft niet de vorm van een vierkant. Maar, stel dat je een heel doolhof uit deze krantenpagina zou knippen, dan lijkt wat overblijft al verdacht veel op een doolhof.

Om op je vraag te antwoorden: het complement van een fractal is niet altijd een fractal. Maar de rand van het complement is natuurlijk hetzelfde als de rand van de fractal. Ik heb er niet voor doorgeleerd, maar ik denk dat je hersenen in die heuvels zozeer het water herkennen, dat het ook een fractal lijkt.

Als je overigens naar Zuidwest-Wisconsin zou rijden, zou je staande aan een van die rivieren de fractale structuur niet meer herkennen. Als je zelf het detail bent, kun je het geheel niet meer overzien. Misschien is ons zonnestelsel wel een detail van een onbevattelijk grote fractal, en beziet iemand nu ons zoals wij Wisconsin wiskunstig bewonderen.
Jan

Lees hier meer prangende vragen en wesnedige antwoorden van Daan van Eijk en Jan Beuving.

Meer over

Wilt u iets delen met Trouw?

Tip hier onze journalisten

Op alle verhalen van Trouw rust uiteraard copyright. Linken kan altijd, eventueel met de intro van het stuk erboven.
Wil je tekst overnemen of een video(fragment), foto of illustratie gebruiken, mail dan naar copyright@trouw.nl.
© 2019 DPG Media B.V. - alle rechten voorbehouden