Hoe is het mogelijk!

Hoe bestaat het, roepen we als iemand twee keer een grote prijs in de loterij wint. Maar vaak zijn toevallige gebeurtenissen niet zo onwaarschijnlijk als wij denken, betoogt statisticus David Hand.

De tachtigjarige Frank Hughes uit het Britse Darlington was op 1 augustus overleden, stond er in de plaatselijke krant. De rouwadvertentie vermeldde plaats en tijd van zijn begrafenis. Vele vrienden en oud-collega's kwamen daar een paar dagen later opdagen om hem de laatste eer te bewijzen.

De schok was dan ook groot toen ze Frank een uur na de plechtigheid in het stadje tegen het levende lijf liepen.

Het was geen wonder. De man die ter aarde was besteld, was niet de gepensioneerde buschauffeur en oorlogsveteraan geweest, maar een ándere tachtigjarige Frank Hughes uit Darlington. Deze overledene had op de grote vaart gezeten. Vandaar dat zijn familieleden niet verbaasd waren om tijdens de begrafenis allerlei vreemde gezichten te zien.

Toevallig, niet?

David Hand, een Britse emeritus in de statistiek, grossiert in zijn boek 'Het onwaarschijnlijkheidsprincipe', dat vorige maand verscheen, in dit soort gebeurtenissen. Zo waren de vier oudste dochters van Mary Wohlford uit de Amerikaanse staat Illinois in verschillende jaren geboren, maar wel allemaal op 3 augustus. Een zekere Walter Summerford werd drie keer in zijn leven door de bliksem getroffen - en vier jaar na zijn dood werd zijn grafsteen er ook nog eens door geraakt. Parkwachter Roy Sullivan uit Virginia was zelfs zeven keer de klos.

Loterijen zijn ook altijd goed voor onwaarschijnlijke uitslagen. In 2009 waren de zes winnende getallen van een Bulgaarse loterij precies dezelfde als de trekking vier dagen eerder - een kans van één op veertien miljoen. En in 1980 kocht Maureen Wilcox loten met de winnende nummers van zowel de loterij van Massachusetts als die van Rhode Island. Alleen had haar lot voor de loterij van Massachusetts de winnende nummers voor de loterij van Rhode Island, en omgekeerd.

Hoe is het mogelijk, zullen de meeste mensen denken. Dat kan geen toeval zijn, daar moet een hogere macht of een duistere hand achter zitten. Nee hoor, betoogt Hand, zo onwaarschijnlijk is het allemaal niet. En hij formuleert vijf wetten waardoor uiterst kleine kansen toch uit kunnen komen.

Wet 1: Er moet iets gebeuren

Het lijkt een open deur, maar toch is het goed om te beseffen dat er altijd iets moet gebeuren. Na een trekking zijn er winnende loten. Een opgeworpen muntje komt op kop of op munt terecht. Of op zijn kant, of in het afvoerputje, maar er gebeurt iets. "Als je het onmogelijke hebt weggestreept, moet wat er overblijft, hoe onwaarschijnlijk ook, de waarheid zijn", zegt meesterspeurder Sherlock Holmes in een van zijn avonturen.

Twintig jaar geleden profiteerden slimmeriken van deze wet. De jackpot van de loterij van Virginia was zo aangegroeid dat er meer geld in zat dan alle loten samen kostten. Een groep investeerders kocht ze dan ook allemaal op en ging er met de zekere winst vandoor (hoewel, het ging nog bijna mis: ze wisten maar vijf miljoen van de zeven miljoen loten te bemachtigen, daar zat het winnende lot wel tussen).

Hand destilleert uit zijn wet een zekere tip om geld te verdienen met aandelen. Schrijf 1024 mensen een brief en voorspel bij de ene helft dat de koersen zullen stijgen en bij de andere dat ze dalen. De groep bij wie je het fout had, laat je links liggen. Voor de anderen herhaal je na een week de procedure. De ene helft: stijgen, de andere: dalen. Na tien keer zijn er zo 1023 mensen afgevallen. Hand: "Maar hoe zit het met deze ene persoon die overblijft? Hij heeft me tien juiste voorspellingen op rij zien doen. Alsof ik werkelijk kan voorspellen hoe aandelen het zullen doen. En dit is het moment waarop ik hem vraag voor mijn volgende aandelentip te betalen..."

Wet 2: Werkelijk grote getallen

Hoe klein de kansen ook zijn, als je maar vaak genoeg probeert, komen alle mogelijkheden een keer uit. Gemiddeld geeft één op de 36 worpen met twee dobbelstenen een dubbelzes. Tien zessen met tien stenen gebeurt niet zo vaak - eens in de 60 miljoen pogingen - maar wie alle 60 miljoen Britten tien dobbelstenen laat werpen, moet niet verbaasd zijn als er eentje is met tien keer zes.

Zoveel dobbelende Britten, dat valt wel op. In de praktijk is het vaak niet zo zichtbaar dat deze wet actief is. Bijvoorbeeld doordat allerlei combinaties mogelijk zijn.

Neem nou de klassieke vraag: hoeveel mensen moet je bij elkaar brengen opdat de kans minstens 50 procent is dat er twee op dezelfde dag jarig zijn? 200, denkt u? 100? Nee, in een groep van 23 personen is het al waarschijnlijker dat er minstens twee op dezelfde dag jarig zijn dan dat iedereen op een andere dag is geboren. De meeste mensen gaan hier de fout in doordat ze zich proberen voor te stellen hoe groot de kans is dat iemand tegelijk met hen jarig is. Maar nee, elk willekeurig duo is goed. En uit een groep van 23 personen kun je 253 verschillende paren vormen.

Die combinatiemogelijkheden kunnen snel oplopen. Voor een andere vraag hoeven het misschien niet per se paren te zijn. En dan kun je van een groep van 23 personen maar liefst ruim acht miljoen verschillende subgroepjes maken.

Het is misschien heel toevallig dat een lotto-trekking twee keer achter elkaar dezelfde uitslag geeft. Maar er zijn in de wereld zoveel loterijen en die trekken elke week - of nog vaker - zoveel nieuwe geluksgetallen, dat het al wat waarschijnlijker wordt. Zeker als je combinaties toestaat. In Amsterdam dezelfde uitslag als in Buenos Aires. Dezelfde ballen, maar dan precies een jaar later. Eén persoon die twee keer achter elkaar wint - maar dan beroepen we ons al op een derde wet.

Wet 3: Achteraf is het logisch

Voorspellen is moeilijk, maar zelfs de domste waarzegger heeft wel eens geluk. En bij sommigen houdt dat geluk even aan.

Bij het WK voetbal in Zuid-Afrika voorspelde Paul de octopus alle zeven wedstrijden van het Duitse elftal goed, plus de finale (U weet wel: Nederland-Spanje). In zijn aquarium in het Duitse Oberhausen zwom Paul acht keer naar de bak met de - achteraf winnende - vlag. Acht keer goed, dat is een kans van één op 256. Niet onwaarschijnlijk klein, maar toch opmerkelijk.

Totdat we beseffen dat er meer voorspellende dieren waren. Mani, een parkiet uit Singapore, had de eerste zeven goed, maar ging bij wedstrijd acht de mist in. Dat gold ook voor Leon het stekelvarken, Petty het dwergnijlpaard, Jimmy de cavia, Anton het klauwaapje, de octopussen Xiaoge en Pauline, Pino de chimpansee, het rivierzwijn Apselin en krokodil Harry: een tijdje was het lot ze gunstig gezind, maar vroeg of laat vielen ze allemaal door de mand. En dan hebben we het nog niet over al die dieren gehad die al bij de tweede of derde wedstrijd het verkeerde vlaggetje kozen en nooit de krant haalden.

Wet 4: Klein is niet altijd klein

Op 19 oktober 1987, 'Zwarte Maandag', kelderden de beurzen. In New York verloren de aandelen een kwart van hun waarde. Volgens analisten was een crash van deze omvang eigenlijk onmogelijk. Ze hadden berekend dat de kans erop eens in de 10 tot de macht 160 jaar was (een 1 met 160 nullen). Ook achteraf kwamen hun sommen op dit onwaarschijnlijk grote getal uit. Niettemin zouden de beurzen in de jaren erna nog een paar keer zo'n duikeling maken.

Klopten de berekeningen niet? Jawel, maar de modellen waarop die berekeningen waren gebaseerd, deugden niet. Ze gingen ervan uit dat schommelingen op de beurs zich net zo gedragen als een dobbelsteen of een muntstuk. Het alledaagse toeval houdt zich aan de zogeheten normale verdeling: die zegt dat de kansen rond het gemiddelde het grootste zijn en dat grote afwijkingen al snel bijna kansloos zijn.

Maar de beurs schommelt niet volgens de normale verdeling. Er is geen beursduiveltje dat de koersen volkomen willekeurig laat stijgen of dalen. Die schommelingen zijn vervuild (door onbekende, niet-statistische factoren) en dat heeft grote gevolgen voor de kansen. In zijn boek rekent David Hand voor dat de extreem onwaarschijnlijke kans (de 1 met 160 nullen) in een iets andere verdeling (de Cauchy-verdeling) verwordt tot een alledaagse kans van één procent.

Hoe dat kan, maakt het voorbeeld van de blikseminslag duidelijk. In de Verenigde Staten (of in Nederland) is de kans om door de bliksem getroffen te worden één op miljoen. Toch was de parkwachter uit Virginia zeven keer in zijn leven de klos. Het lijkt onmogelijk, totdat je beseft dat die één op miljoen een gemiddelde is. Stedelingen lopen nauwelijks risico, maar een buitenmens als een parkwachter des te meer. Dan is zeven keer niet meer zo onwaarschijnlijk. Zeker in combinatie met de wet van de grote getallen: er zijn in de wereld miljoenen mensen die de hele dag buiten zijn.

Wet 5: Bijna goed telt niet

Het gebeurt niet zo vaak dat iemand bij twee opeenvolgende loterijen de jackpot wint. Maar twee vette prijzen achtereen is veel minder zeldzaam. De mogelijkheden zijn dan ineens veel ruimer. Alle zes de lottoballetjes goed kan maar op één manier, vijf van de zes goed kan al gauw op meer dan honderd manieren (afhankelijk van het totaal aan balletjes). De kans op twee keer vijf goed is daarom meer dan tienduizend keer zo groot als twee keer de hoofdprijs.

De wet van voldoende dichtbij legt ons vaak in de luren. Kennelijk hebben we meer oog voor overeenkomsten dan voor verschillen. Vinden we het bijvoorbeeld frappant als de omtrek van de piramide van Gizeh (in inches) precies overeen blijkt te komen met het aantal dagen in duizend jaar.

Tot iemand de piramide nog eens nameet en er wat goeie wil nodig is om de gelijkenis te zien. Dan is het geen onwaarschijnlijk toeval meer, maar iets heel alledaags: 'Ach hoe uitzonderlijk, de moeder van mijn buurman had net zoiets.'

We hebben een moeizame verhouding met het toeval. We benaderen het vaak intuïtief, terwijl het alleen gehoorzaamt aan de harde wetten van het getal. Zo overschatten we onze kansen in een loterij en bagatelliseren we de risico's van gevaarlijke sporten. Vraag mensen tien willekeurige getallen onder de honderd te noemen en velen zullen ze netjes gespreid kiezen. Het lot levert die getallen echter regelmatig in groepjes aan. Veel bezoekers van het casino zijn ervan overtuigd dat het balletje na vijf keer rood nu toch op zwart moet vallen.

Sommige zaken zijn zo onwaarschijnlijk dat ze in feite onmogelijk zijn. Je kunt nog zoveel chimpansees achter een typemachine zetten, het blijft ondenkbaar dat een van hen er bij toeval een toneelstuk van Shakespeare uit ramt. Maar dat de Zuid-Afrikaanse kunstenares Raine Carosin in 2010, toen ze op haar computer scrabble speelde, de letters van haar achternaam kreeg, zou inmiddels geen verbazing meer mogen wekken.

David Hand: 'Het Onwaarschijnlijkheidsprincipe. Waarom toeval, wonderen en zeldzame gebeurtenissen iedere dag voorkomen.' Ambo|Anthos, Amsterdam. 284 pag, euro 21,99.

Meer over

Wilt u iets delen met Trouw?

Tip hier onze journalisten

Op alle verhalen van Trouw rust uiteraard copyright. Linken kan altijd, eventueel met de intro van het stuk erboven.
Wil je tekst overnemen of een video(fragment), foto of illustratie gebruiken, mail dan naar copyright@trouw.nl.
© 2020 DPG Media B.V. - alle rechten voorbehouden