Feest! Vandaag is het Pi-dag

Vandaag is het 3/14/15: Super Pi-dag. De vijf cijfers stemmen overeen met het begin van het beroemdste getal uit de wiskunde. En hopelijk leest u dit op tijd: om 9.26.53 uur bereikt deze dag zijn absolute hoogtepunt. Of is het één seconde later? Met pi weet je het nooit precies.

Het is vandaag 14 maart 2015. Een dag als alle andere, maar in de Amerikaanse notatie krijgt de datum een speciale betekenis. Aan de overzijde van de oceaan schrijven ze deze dag als: 3/14. En dat zijn de eerste drie cijfers van pi, het beroemdste getal uit de wiskunde. Sinds 1988 vieren wiskundigen en andere liefhebbers daarom de veertiende maart als Pi-dag. Eten ze allerhande soorten taart (pie, in het Engels) of chocolade pi's en drinken ze pi-wijn. Dit jaar is het helemaal feest: het is 3/14/15. De eerste vijf cijfers stemmen overeen. Het is Super Pi-dag, een dag die even voor half tien zijn hoogtepunt bereikt. Om 9.26.53 uur zijn zelfs tien decimalen correct. Of is het moment suprême één seconde later? Met pi weet je het nooit exact.

undefined

Bij benadering 3,14

Edward J. Goodwin was er uit. De arts uit Indiana had er nog eens goed op gestudeerd en toen enkele harde noten uit de wiskunde gekraakt. Zo had hij de kwadratuur van de cirkel opgelost, een vraagstuk waar de oude Grieken zich al het hoofd over hadden gebroken. En daaruit bleek ook dat pi, dat vreemde getal uit de wiskunde met zijn oneindige reeks decimalen, gewoon gelijk moest zijn aan 4. Via een bevriende politicus wist Goodwin het Huis van Afgevaardigden zo gek te krijgen dat het zijn bevindingen in 1897 bijna tot wet verhief. Bijna: de Senaat van Indiana kwam net op tijd tot inzicht en verwierp het wetsvoorstel.

Hoewel de wiskunde de Griekse letter ¿ er pas een eeuw of drie voor gebruikt, wisten de Babyloniërs al dat de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter een vaste waarde was waar niet aan te tornen viel. Volgens een bijna vierduizend jaar oud kleitablet schatten ze die waarde op 25/8 (3,125). Het ongeveer even oude Rhind-papyrus uit Egypte kwam ook dicht in de buurt: 256/81 (3,1605).

De Griekse wiskundige Archimedes bakende in de derde eeuw voor Christus de grootte van pi af door veelhoeken te tekenen die net binnen of net buiten een cirkel vielen. De omtrek van de veelhoeken was met de stelling van Pythagoras en veel worteltrekken te berekenen. Als hij zo een boven- en ondergrens voor pi had berekend, breidde Archimedes de veelhoek uit en begon hij opnieuw. Bij 96-hoeken vond hij het wel best.

De Nederlander Ludolph van Ceulen was een kei in dit rekenwerk en hield het langer vol. Rond 1600 legde deze Leidse hoogleraar pi tot 35 cijfers achter de komma vast. Hij maakte daar zoveel indruk mee dat pi in Duitsland nog wel 'het getal van Ludolph' wordt genoemd. Een gedenksteen in de Leidse Pieterskerk (Pi-terskerk) herinnert hieraan.

De opkomst van de analytische wiskunde gaf de pi-berekeningen nieuw elan. Pi bleek te kunnen worden benaderd middels een zogeheten reeks. Bijvoorbeeld: ¿/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 enzovoorts. Dan wist je hoeveel termen je moest berekenen om de gewenste benadering te bereiken. Alle groten uit de wiskunde deden een duit in het zakje. Newton, Euler, Leibniz.

Tegenwoordig wordt pi met de computer berekend en de Japanner Yasumasa Kanada is hier een grootmeester in. Het record staat inmiddels op meer dan dertien biljoen decimalen. "Waarbij het nog lastig is om te controleren of ze juist zijn", zegt de Groningse hoogleraar wiskunde Jaap Top. "Maar een record telt pas als de reeks decimalen via een tweede methode wordt bevestigd."

En waar is het goed voor, vraag je je af. Er zijn nauwelijks toepassingen waarbij meer dan tien decimalen noodzakelijk zijn. Top weet er maar één te noemen - uit een exotische uithoek van de wiskunde: diophantische vergelijkingen - maar kent toch een praktisch nut. "Kanada moet ervoor waken dat zijn computers niet op tilt slaan. Ze moeten in korte tijd enorm veel gegevens bewerken, opslaan en wegschrijven. Dat moeten satellieten die het dataverkeer tussen telefoons of tv-stations verwerken, ook kunnen. De methoden van Kanada zijn daarbij van enorm nut."

undefined

Het getal zonder eigenschappen

Toen scholieren nog geen rekenapparaten mochten gebruiken, leerden ze dat pi ongeveer 22/7 was. Dat wist Archimedes al. Tijdens de vele pogingen die na hem zijn ondernomen om pi te benaderen, werd duidelijk dat pi nooit precies als een breuk kan worden omschreven - op Edward Goodwin na dan. Er is geen enkele cirkel te bedenken waarbij de diameter een geheel getal is en de omtrek óók.

Pi is geen rationaal getal, het is niet het quotiënt van twee gehele getallen, zeggen de wiskundigen al eeuwen. Maar het duurde tot 1761 voor de Zwitser Johann Lambert het bewijs hiervoor leverde. Pi is geen breuk en als je het als een decimaal getal schrijft (3,14159...) dan blijkt er geen enkel patroon in die cijferreeks te zitten. Elk volgende cijfer is weer een complete verrassing. Hoewel, een paar jaar geleden ontdekten de wiskundigen David Bailey en Peter Borwein hoe ze een willekeurig cijfer uit de reeks van pi konden berekenen, zonder dat ze eerst de voorgaande cijfers hoefden te bepalen. Tenminste, als je pi als binair getal schreef, dus alleen met enen en nullen.

Pi is ook niet algebraïsch - wiskundigen zijn dol op het verzinnen van eigenschappen om daarna te bewijzen of een getal ze heeft. Algebraïsche getallen vormen een grote groep waarvan de rationale getallen een specifiek subgroepje zijn. De regels voor de grote groep zijn wat ruimer, maar ook met een optelsom van kwadraten en derde machten van pi lukt het niet om een geheel getal te vormen. Het zou verrassend zijn geweest als het wel had gekund, maar het duurde tot 1882 voordat de Duitser Ferdinand von Lindemann bewees dat pi niet algebraïsch is - het is een transcendent getal, heet het in wiskundig jargon.

Met zijn bewijs toonde Lindemann meteen aan dat de kwadratuur van de cirkel niet bestaat: het is onmogelijk om slechts met hulp van een passer en een liniaal een cirkel en een vierkant van gelijke oppervlakte te construeren.

Er is één eigenschap van pi waar de wiskundigen nog niet uit zijn: is het een normaal getal? Even voor de goede orde: volgens wiskundigen is een getal normaal als de ontwikkeling achter de komma willekeurig is en alle cijfers even vaak voorkomen. Daar lijkt het bij pi wel op. De eerste miljoen cijfers zijn redelijk verdeeld, de zessen wijken met 99.548 vertegenwoordigers nog het meest af.

Maar dat is nog geen bewijs. "Toen Borwein en Bailey met hun binaire ontdekking kwamen, was er opwinding dat het bewijs voor de normaliteit van pi snel zou volgen", zegt Top uit Groningen. "Maar daarna bleef het angstvallig stil."

Dat bewijs heeft overigens ook niet veel praktisch nut. Top: "Het zou betekenen dat pi elke denkbare reeks bevat. En dus ook, om maar iets te noemen, de complete Hamlet. In code weliswaar, maar toch. Dat is meer voer voor filosofen."

undefined

Ezelsbruggetjes

Het fascinerende aan pi is dat pi zo fascineert, zegt Jaap Top. "Het getal heeft iets dat andere getallen, zoals het getal van Euler of wortel twee, niet hebben."

Dat bleek wel toen NRC Handelsblad schreef over ezelsbruggetjes voor pi. Gedichtjes waarin het aantal letters van ieder woord staat voor het cijfer in de ontwikkeling van pi. Zoals: 'Wie ¿ voor 't eerst berekende, hij sterft nooit.' Het artikel eindigde met een oproep aan de lezers. Waarna de krant werd overspoeld met pi-gedichtjes.

Het is onwaarschijnlijk dat Lu Chao een gedichtje uit zijn hoofd had geleerd toen hij op 20 november 2005 de eerste 67.890 decimalen van pi oplepelde. De Chinese student chemie had 24 uur en 4 minuten nodig voor zijn wereldrecord. Superblij was Lu Chao niet: hij zei dat hij 100.000 cijfers uit zijn hoofd had geleerd, maar bij nummer 67.891 maakte hij een foutje.

undefined

Einstein

Toevallig of niet, de veertiende maart is ook de geboortedag van Albert Einstein. De natuurkundige werd vandaag 136 jaar geleden in Ulm geboren.

Is dat het enige verband? Nee, in Einsteins grote formule neemt pi een prominente plaats is. Dat is niet E=mc2, maar: R=4¿GT. Dit is - in sterk vereenvoudigde vorm - het principe van zijn algemene relativiteitstheorie: de kromming van de ruimte is evenredig met de dichtheid van energie en massa. Een evenredigheid die dus mede afhangt van de grootte van pi.

En laat de algemene relativiteitstheorie dit jaar precies een eeuw oud zijn.

undefined

Pi, maar dan anders

Omdat pi de verhouding is tussen de omtrek en de diameter van een cirkel (pi is afgeleid van periferie, een ouderwets synoniem voor omtrek), lijkt het getal alleen in cirkels of bollen op te duiken - in de afleiding van Einsteins formule komt ook een bol voor.

Maar pi wordt ook in andere verbanden gebruikt. Zo is de kans dat twee getallen geen gemeenschappelijke deler hebben anders dan 1 - zoals 18 en 35, of 51 en 1000: 6/¿2 (6 gedeeld door het kwadraat van pi).

En als een speld van lengte L valt op een vloer met planken die L breed zijn, dan is de kans dat de speld op een kier valt: 2/¿.

Pi komt zelfs buiten de wiskunde voor. In de kronkeling van rivieren bijvoorbeeld. Voor een gemiddelde rivier geldt: de lengte van de rivier gedeeld door de afstand tussen bron en monding is pi.

Ongeveer dan.

¿

undefined

Meer over

Wilt u iets delen met Trouw?

Tip hier onze journalisten

Op alle verhalen van Trouw rust uiteraard copyright. Linken kan altijd, eventueel met de intro van het stuk erboven.
Wil je tekst overnemen of een video(fragment), foto of illustratie gebruiken, mail dan naar copyright@trouw.nl.
© 2021 DPG Media B.V. - alle rechten voorbehouden