Een miljoen en eeuwige roem

Het bewijs is de motor van de wiskunde. De Millenniumproblemen moesten de grootste vraagstukken helpen oplossen, maar de machine komt niet echt op gang. En wie is briljant genoeg om de voorgestelde bewijzen nog te volgen?

TEKST JOEP ENGELS

De zee was onstuimig toen G. H. Hardy zich gereedmaakte voor de oversteek van Denemarken naar Groot-Brittannië. De Britse wiskundige nam het zekere voor het onzekere. Hij kocht een ansichtkaart, schreef dat hij het Vermoeden van Riemann had bewezen en stuurde de kaart naar een vriend. Hardy was een atheïst, maar hij kon zich niet voorstellen dat de Voorzienigheid hem zou laten verdrinken. Dan zou hij immers - ten onrechte - de geschiedenis ingaan als de man die wellicht de heilige graal van de wiskunde in handen had gehad. Hardy kwam veilig en wel in Engeland aan.

Bijna een eeuw later is het Vermoeden van Riemann nog altijd onbewezen. De wiskundige die het bewijs levert, wacht eeuwige roem. En sinds een jaar of veertien een miljoen dollar.

In 2000 stelde de Amerikaanse miljonair Landon Clay, oprichter en weldoener van het naar hem vernoemde mathematisch instituut, zeven miljoen dollar beschikbaar voor de oplossing van de zeven grootste vraagstukken uit de wiskunde. Het Vermoeden van Riemann zat daar dus bij, maar ook zes andere fameuze hersenkrakers (zie kader).

Clay heeft nog niet in de buidel hoeven tasten. Weliswaar bewees Grigori Perelman in 2003 het Vermoeden van Poincaré maar deze mensenschuwe wiskundige uit Sint-Petersburg kwam zijn miljoen nooit ophalen. Verder regende het claims, maar deze zijn allemaal ontkracht.

Dat lijkt nu ook te gaan gebeuren met de laatste - serieuze - poging. Vorige maand beweerde een wiskundige uit Kazachstan dat hij de Navier-Stokes-vergelijkingen had gekraakt. Moechtarbai Otelbajev van de Universiteit van Astana eiste feitelijk het miljoen op met zijn artikel waarin hij liet zien dat de vergelijkingen wel degelijk een exacte oplossing hebben - een kwestie waar de wiskunde sinds 1822 mee worstelt.

Platgetreden paden
Dat is niet helemaal zoals het hoort, zegt Barry Koren, hoogleraar numerieke wiskunde aan de TU Eindhoven. "De claim moet je eigenlijk door anderen worden gegund. Perelman zette destijds drie artikelen op internet en liet het toen aan vakgenoten over om te concluderen dat ze samen het bewijs voor het Vermoeden van Poincaré vormden."

Maar goed, het gaat om de inhoud. Dan is het nog niet zo eenvoudig om het ongelijk van de Kazach vast te stellen. Niet in de laatste plaats omdat het honderd pagina's tellende artikel in het Russisch is geschreven - wiskunde mag een universele taal zijn, de beoefenaars hebben ook gewone woorden nodig om hun gedachtengang te beschrijven.

Maar de wiskunde van Otelbajev zegt Koren eigenlijk al genoeg. "Die is traditioneel. Hij bewandelt platgetreden paden. Het kan natuurlijk zijn dat Otelbajev gewoon verder is gelopen dan iedereen vóór hem, maar ik kan me eigenlijk niet voorstellen dat daar de oplossing ligt."

Grote problemen vergen nieuwe wiskundige technieken, wil hij maar zeggen. Dat is ook het idee achter de Millenniumproblemen van het Clay-instituut: het bewijs is de motor van de wiskunde. De oude Grieken wisten het al, ze schepten er plezier in om problemen te construeren die de geest prikkelden. De kwadratuur van de cirkel is daar het bekendste voorbeeld van: construeer met niet meer dan een passer en een liniaal een vierkant dat net zo groot is als een cirkel. Pas in 1882 werd bewezen dat dit een onmogelijke opgave was. Niet met passer en liniaal, voor het bewijs was een uitbreiding van de getaltheorie nodig.

In 1900 blies de grote wiskundige David Hilbert de oude traditie nieuw leven in. Hij legde zijn vakgenoten 23 stellingen voor en daagde hen uit ze te bewijzen. Voor de meeste stellingen is dat inmiddels gelukt - of iemand toonde aan dat de stelling niet waar was of onbewijsbaar.

Duizend jaar slapen
Eén stelling bleef onopgelost: het Vermoeden (of de Hypothese) van Riemann. Hilbert - overleden in 1943 - zou het niet hebben verbaasd. "Als ik wakker zou worden na duizend jaar te hebben geslapen", zei hij ooit, "zou mijn eerste vraag zijn: is Riemann opgelost?"

Ook Jan van de Craats zou het geweldig vinden als 'Riemann' werd bewezen. Maar de emeritus hoogleraar wiskunde van de Universiteit van Amsterdam beseft dat het bewijs misschien niet helemaal aan hem besteed zal zijn. "Ik heb mezelf er ook een tijdje mee beziggehouden, maar het uiteindelijke bewijs zou wel eens zo complex kunnen zijn dat het mij boven de pet gaat. Dat ik het niet van A tot Z zal kunnen volgen."

Dat dit geen onterechte vrees is, bleek twintig jaar geleden wel. In 1993 presenteerde de Brit Andrew Wiles het bewijs voor de laatste stelling van Fermat. De Fransman had zelf in 1637 beweerd dat hij een schitterend bewijs voor zijn stelling had gevonden, maar die bewering wordt door iedere wiskundige in twijfel getrokken.

Wiles had zeven jaar in volledige afzondering aan het bewijs gewerkt en daarvoor een totaal ander vakgebied aangeboord - niet de getaltheorie van Fermat, maar de algebraïsche meetkunde.

Kort na zijn presentatie bleek er een foutje in het bewijs te zitten. Wiles dook nog eens twee jaar onder om het lek te dichten. Dat is hem gelukt, maar het uiteindelijke bewijs - twee artikelen van samen 129 bladzijden - wordt maar door weinig wiskundigen begrepen.

Waar moet dat heen? Straks blijkt niemand in staat het bewijs van Riemanns vermoeden te verifiëren. Die vrees is niet denkbeeldig, beaamt Koren. "Het is een bedreiging voor de wiskunde. De deelgebieden worden zo specialistisch dat een rammelend bewijs door de mazen van het net zou kunnen glippen. Maar we moeten niet overdrijven. Het zou geen drama zijn; vroeg of laat komt het foutje toch wel aan het licht. Tenzij het vakgebied zo esoterisch is dat het bewijs al snel in een la verdwijnt en niemand er meer naar omkijkt. Who cares?, zou ik dan zeggen."

Stelling van Pythagoras
Dat risico loopt een bewijs van Riemann in ieder geval niet. Hele volksstammen wachten op deze ontknoping. Een eventueel bewijs zal dan ook uit-en-te-na worden gecontroleerd.

"Heel veel stellingen uit de wiskunde zijn bewezen onder de aanname dat het Vermoeden van Riemann waar is", zegt Jan van de Craats. "Pas als dat bewijs geleverd is, zijn ook die stellingen bewezen. En andersom: is Riemann niet waar, dan storten ook al die andere bewijzen in."

Bovendien zit de wiskunde niet stil. Sommigen zullen hun beste krachten besteden aan het doorspitten van een bewijs, anderen leggen er eer in om de oorspronkelijke bewijsvoering te vereenvoudigen.

Koren: "Neem de stelling van Pythagoras. Daar bestaan inmiddels duizenden bewijzen van en velen zien het als een sport daar een simpele versie aan toe te voegen."

Zeven problemen en een zak geld
Op 24 mei 2000 loofde het Clay Mathematics Institute voor de oplossing van de zeven grootste problemen uit de wiskunde een prijs uit van een miljoen dollar elk. Om daar aanspraak op te kunnen maken, moeten kandidaten hun bewijs of oplossing gepubliceerd krijgen in een gezaghebbend vakblad. De oplossing moet twee jaar blijven staan. Als dan nog niemand een foutje heeft ontdekt, wordt de prijs toegekend.

Het Vermoeden van Riemann gaat over priemgetallen, de getallen die alleen deelbaar zijn door 1 en door zichzelf. De reeks begint met 2, 3, 5, en 7, maar ook 23 is een priemgetal, net als 97 of 211. Er zijn oneindig veel priemgetallen, maar het is onduidelijk hoe ze verdeeld liggen op de getallenlijn. Zijn er grote gebieden waar geen enkel getal priem is? Of: wat is het duizendste priemgetal? Het Vermoeden van Riemann zegt iets over die verdeling van de priemgetallen. Dat klinkt esoterisch en nutteloos, maar priemgetallen spelen onder andere een belangrijke rol in de versleuteling van bankgegevens.

De aarde lijkt plat, maar wie nadenkt, of een blik vanuit de ruimte heeft kunnen werpen, weet dat zij rond is. Maar hoe ziet onze ruimte eruit? We kunnen dat niet vanuit een vierdimensionale ruimte bekijken, dus moeten we erover nadenken. Henri Poincaré deed dat ruim honderd jaar geleden en hij bedacht toen dat alle reizen rond de wereld hetzelfde zijn. Wiskundig gezien dan. Dat besef zou voor een mier genoeg moeten zijn om te begrijpen dat de aarde een bol is. Op dezelfde manier zouden wij moeten kunnen herleiden of de ruimte een bol in vier dimensies is of niet. Dat is het Vermoeden van Poincaré. Elf jaar geleden toonde Grigori Perelman aan dat dit vermoeden juist is.

Wat is de snelste route langs 32 steden? Hoeveel hokjes van een sudoku moeten minimaal zijn ingevuld eer hij oplosbaar is? In welke priemfactoren kun je een getal van honderd cijfers ontbinden? Deze vragen kun je eigenlijk alleen beantwoorden door alle mogelijkheden te proberen en dat worden er al snel onoverkomelijk veel. Voor die snelste route is zelfs de krachtigste computer langer bezig dan de levensduur van het heelal.

Geeft iemand echter een oplossing, dan is het relatief eenvoudig om te controleren of die correct is. Bovendien zijn er in deze categorie problemen die wel met een slim computerprogramma zijn op te lossen. Dan rijst de vraag: zijn die andere problemen werkelijk onoplosbaar of zijn wij daar te dom voor? Dat is de essentie van het P-versus-NP-probleem.

Begin negentiende eeuw stelden de Fransman Claude Navier en de Brit George Stokes formules op die de stromingen van gassen en vloeistoffen beschrijven. Zo, dan begrijpen we dat ook, dacht iedereen. Dat viel tegen. Tot nu toe is het alleen gelukt een oplossing met de hulp van een computer te benaderen. Maar bestaat er ook een exacte oplossing? Zo ja, dan zullen die benaderingen van de computer ook wel bijna goed zijn. Anders weet je het niet.

De wiskundige Otelbajev beweert nu dat hij bewezen heeft dat die exacte oplossing bestaat, maar professor Koren van de TU Eindhoven heeft zijn twijfels. Niet alleen omdat de Kazach traditionele paden bewandelt en nog niemand langs die weg het bewijs heeft gevonden. De opdracht luidt om een algemene oplossing te vinden, maar bij Otelbajev staat het water stil als de Navier-Stokes-vergelijkingen gaan draaien. Koren: "Voor zover ik kan zien, geeft hij nergens aan dat dat niet uitmaakt." Een bewijs van Navier-Stokes zal zijn vak een enorme impuls geven, verwacht Koren. "Ook al kennen we die oplossing niet, we zullen betere benaderingen kunnen maken. En dan dus beter gestroomlijnde vliegtuigen, efficiëntere windparken, meer inzicht in bloedstromen."

De andere drie stellingen zijn zeer abstract. Het Vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer gaat over elliptische krommen en is verwant aan de laatste stelling van Fermat. De Yang-Mills-theorie staat aan de basis van het Standaardmodel, dat de wereld van elektronen en quarks beschrijft. De theorie werkt, maar is wiskundig gezien een rommeltje. Gevraagd: geef de theorie een stevige onderbouwing. Het Vermoeden van Hodge ten slotte is een voor niet-ingewijden onbegrijpelijk probleem uit de topologie. Zelfs de samenstellers van 'De zeven grootste raadsels uit de wiskunde', waaruit voor dit kader is geput, hadden de grootste moeite een auteur voor deze paragraaf te vinden.

undefined

Wilt u iets delen met Trouw?

Tip hier onze journalisten

Op alle verhalen van Trouw rust uiteraard copyright.
Wil je tekst overnemen of een video(fragment), foto of illustratie gebruiken, mail dan naar copyright@trouw.nl.
© 2023 DPG Media B.V. - alle rechten voorbehouden