DE WISKUNDE VAN WACHTEN

Waarom moeten wij wachten? Waarom zorgt zo'n supermarkt of postkantoor niet gewoon voor voldoende kassa's of loketten? Men houdt daar toch wel bij hoeveel klanten per uur binnenkomen, en hoeveel tijd ieder vraagt? Terug van vakantie hebben we allemaal weer haast en staan we natúúrlijk in de verkeerde rij.

Begin jaren tachtig regende het klachten op het vliegveld van Houston. De passagiers vonden dat ze veel te lang op hun bagage moesten wachten. Het vliegveld schakelde daarom extra koffersjouwers in en zorgde ervoor dat het transport werd gestroomlijnd. De wachttijd werd teruggebracht tot een acceptabele acht minuten, maar voor het aantal klachten maakte dat niet uit.

Pas toen de managers zelf aan de transportband gingen staan, zagen ze het probleem. Passagiers met alleen handbagage konden direct van hun vliegtuig naar buiten lopen, naar de taxistandplaats. De ongelukkigen die op hun koffers stonden te wachten, moesten met lede ogen toezien hoe de taxi's voor hun neus werden weggekaapt. Voor hen leken die luttele acht minuten wel een eeuwigheid te duren.

De oplossing was al even verrassend. Men haalde er niet nog meer sjouwers bij, maar bouwde juist een extra vertraging in. Men liet de passagiers een heel eind verder lopen voor ze bij de goede koffercarrousel waren. Ze hadden daardoor minder tijd om zich over het wachten op te winden. De klachten verdwenen volledig.

Ook pretparken hebben hun wachtrijen, maar daar heeft men de zaak omgedraaid en van de nood een deugd gemaakt. In het hoogseizoen staan bezoekers van de Efteling een groot deel van hun tijd in de rij voor de Python of andere topattracties. Markeringen langs de route geven aan hoe lang het nog wachten is.

Hier heeft iedereen juist prima uitzicht op wat komen gaat. Soms zijn er voorprogramma's om de gasten in de goede stemming te brengen. En dat werkt: 85 procent vindt de attracties een wachttijd van soms anderhalf uur de moeite waard. Sterker nog, bij een vergelijkbaar Brits pretpark vond men de attracties mét wacht-voorpret leuker dan zonder.

Eén jaar van ons leven staan we in de rij. Bij de supermarkt, in de file, of aan de telefoon: 'Al onze lijnen zijn bezet; een ogenblik geduld alstublieft'. Een verspild jaar, vindt iedereen. De afgelopen weken lag half Nederland weliswaar te niksen aan het strand of in de achtertuin, maar nu de onthaasting weer voorbij is, is elke wachtminuut er één te veel.

Dus zigzaggen we weer in de file en tussen de rijen voor de loketten. Natuurlijk is bij onze kassa altijd de papierrol op en blijken we achter een toerist te staan die geen kleingeld op zak heeft en geen Nederlands spreekt. En de trein vertrekt alleen dan op tijd wanneer wij een minuutje verlaat zijn.

Over de psychologie van het wachten zijn hele verhandelingen te houden. Het vliegveld van Houston weet inmiddels dat de irritatie niet alleen afhangt van de wachttijd. Het is vooral een kwestie van beleving. De tijdschriften bij de kapper of het aperitiefje in het rerstaurant kunnen ertoe bijdragen dat men niet het idee heeft zijn tijd te verdoen. Maar de irritatie komt ook voort uit machteloosheid, uit het gevoel te zijn overgeleverd aan 'het systeem'. Niet weten bijvoorbeeld hoelang het nog gaat duren.

In Londen is sinds een jaar of zes op bushaltes te lezen wanneer de volgende bus er aankomt. Enig effect op de wachttijden heeft dat niet gehad: die is nog steeds zo'n minuut of vijf. Maar vroeger dachten de Londenaren dat ze wel twaalf minuten stonden te wachten en sinds de meldingen zijn het er voor hun gevoel nog maar achtenhalf.

Alle psychologische verhandelingen draaien om die ene brandende vraag heen: waarom moeten wij wachten? Waarom zorgt zo'n supermarkt of postkantoor niet gewoon voor voldoende kassa's of loketten? Men houdt daar toch wel bij hoeveel klanten per uur binnenkomen, en hoeveel tijd ieder vraagt? Stel dat een klant gemiddeld drie minuten nodig heeft; dan kan een lokettist er twintig per uur bedienen. Als er tweehonderd klanten per uur zijn, heb je dus aan tien loketten voldoende.

Tenminste, dat zou je denken, maar deze aanpak is een gegarandeerd recept voor lange wachtrijen, leert de queueing theory, de wiskunde van wachten. Een vreemd vakgebied waarin de intuïtie het regelmatig moet afleggen tegen de logica.

Een begin van de verklaring is te vinden op het eerder genoemde vliegveld van Houston. Vertrekkende passagiers kunnen daar lezen dat gemiddeld elke tien minuten een bus langskomt voor vervoer naar de juiste terminal. Hoe lang moet je dan wachten? Gemiddeld vijf minuten, is het voor de hand liggende antwoord.

Nee, volgens de wiskunde van het wachten moet iedereen rekenen op de volle tien minuten wachttijd. Dat zit hem in het woordje 'gemiddeld' in 'gemiddeld elke tien minuten een bus'. Als de bussen precies tien minuten na elkaar arriveren, is de te verwachten wachttijd inderdaad vijf minuten. Maar de praktijk is dat de bussen soms vlak achter elkaar komen en dat het vervolgens een tijdje stil is. De tragiek van de passagiers is dat de kans dat ze in zo'n stilteperiode bij de halte aankomen, groter is dan tijdens een bussenhausse. Het is dezelfde tragiek die ervoor zorgt dat we het gevoel hebben altijd in de traagste rij te staan. Dat is niet zo - geluk en pech zijn wat dat betreft nog eerlijk verdeeld - maar we staan wel, per definitie, langer in die trage rij.

Terug naar de wachtende rij van het postkantoor. De gestaag doorwerkende lokettist bedient twintig klanten per uur. Zoveel klanten komen er gemiddeld ook binnen, maar ze komen niet exact om de drie minuten. Bovendien zijn sommigen na een halve minuut al geholpen terwijl de eerder genoemde toerist tien minuten nodig heeft.

Gevolg: het ene moment zijn er geen klanten en zit de brave medewerker uit zijn neus te peuteren en juist als die toerist aan de beurt is, komt er een groepje klanten. Er ontstaat een niet meer weg te werken rij - de lokettist kan zijn neuspeuter-minuutjes niet meer inhalen.

Dat kan hij echter wel als de manager van het postkantoor daar tijd voor reserveert, als hij extra mensen aan het werk zet. Dus niet, bij tweehonderd klanten per uur, tien loketten van twintig per uur, maar bijvoorbeeld twaalf loketten. Daarmee verschaft hij de lokettisten adempauzes.

Als de lokettist structureel pauzes krijgt ingelast tussen twee klanten, heeft hij niet alleen de mogelijkheid wachtrijen weg te werken, maar kan de klant ook variëren. Zoals gezegd, als iedereen op gezette tijden zou komen en evenveel servicetijd vroeg, waren er geen wachtrijen. Die ontstaan door de variaties. Maar zo lang de klant tijdens pauzes van de lokettist arriveert, is hij meteen aan de beurt. En de pauzes staan ook toe dat klanten meer servicetijd dan gemiddeld vragen. Hoe groter de pauzes, des te groter is de kans dat de wachtrijen uitblijven (zie ook kader).

Een paar jaar geleden besloot de PTT om in de hoofdpostkantoren het systeem van afzonderlijke rijen voor afzonderlijke loketten af te schaffen. Dat leidde maar tot frustratie en ergernis: die andere rij die altijd sneller ging en die vervelende klant die voortdurend wisselde.

Tegenwoordig is er nog maar één wachtrij. Klanten trekken nummertjes en wie aan de beurt is, voegt zich bij het loket dat zojuist is vrijgekomen. Dat is eerlijker, vond de PTT. Iedereen wordt in volgorde van binnenkomst behandeld en er is geen snellere rij. Bovendien lijkt één lange rij sneller op te schieten.

Het is maar de vraag of het ook sneller gaat, grapte de Amsterdamse hoogleraar operationele research en management Nico van Dijk vier jaar geleden, toen hij zich bij zijn aantreden voorstelde in een column. Hij had het niet nagerekend, maar Van Dijk voelde aan zijn water dat één lange rij klanten, sommige met grote zaken, andere met kleine, eigenlijk om wachtrijen vróeg. Het was precies als met de files, wist de wiskundige. Die ontstaan niet doordat de wegen overbelast zijn, maar doordat de snelheden zo variëren. Als iedereen 80 zou rijden, of 100, of 120, maakt niet uit, dan waren er geen files. Juist doordat de een 80 rijdt en de ander 120, loopt het vast.

Van Dijks column viel op. Hij werd betrokken bij een experiment op het postkantoor van Schiedam. Daar werden de klanten in vijf groepen ingedeeld: korte en lange geldhandelingen, korte en lange posthandelingen, en andere handelingen. Iedereen trok nummertjes voor zijn 'eigen' loket, met die nuancering dat als één loket tijdelijk geen clientèle had, de medewerkers ook andere rijen zouden bedienen.

In het één-rij-systeem was de wachttijd gemiddeld ruim vier minuten. Volgens de analyse van Van Dijk zou iedereen erop vooruitgaan: de meesten een paar seconden tot een minuutje, maar de grote groep klanten met korte geldtransacties - opnemen en storten - zou al na anderhalve minuut weer buiten staan.

De PTT had bij voorbaat twijfels, om psychologische redenen. Door het systeem kon de situatie ontstaan dat een klant die een paar minuten op zijn beurt zat te wachten, andere klanten zag binnenkomen die meteen geholpen werden. Bovendien was het postkantoor van Schiedam te klein voor het experiment. Het leende zich niet voor zo'n opsplitsing: de loketten waren te vaak onbezet.

Het experiment werd in het grotere postkantoor aan het Haagse Kerkplein herhaald. Maar ook daar was het geen succes. Veel klanten wilden zo snel mogelijk geholpen worden en trokken daarom verschillende nummertjes. Ook al had iemand alleen postzegels nodig, dan trok hij ook een nummertje geldhandelingen. Zo was hij altijd eerder aan de beurt dan degenen die later gearriveerd waren. Het gevolg was wel dat er voortdurend voor niets nummers werden omgeroepen en de wachttijden opliepen.

Van Dijk had het daar toen allang gezien. Hij stortte zich liever op de zogeheten call centers, telefonische informatiediensten zoals de consumentenservices van Hewlett Packard of Siemens, of de reserveringslijnen van boekingsbureaus. Tientallen telefonisten zitten daar klaar om de honderden of duizenden telefoontjes van klanten snel te beantwoorden en in goede banen te leiden.

Daar speelt de psychologie nauwelijks een rol en heerst de harde wiskunde. Daar stelt de manager ook interessantere vragen dan alleen maar die wachttijd. Een beveiligingsdienst bijvoorbeeld. De efficiëntie is niet het hoogste belang, hier gaat het erom dat een telefoontje zo snel mogelijk wordt beantwoord. Hoeveel telefonisten zijn er nodig om te garanderen dat op 90 procent van de meldingen binnen tien seconden wordt gereageerd? Valt mee: voor een gemiddelde van 200 meldingen per uur zijn negen telefonisten nodig.

Het vakgebied blijkt een gigantisch breed toepassingsgebied te hebben. De groep van Van Dijk heeft bijvoorbeeld berekend hoeveel vertragingen knooppunten in de Betuwelijn kunnen opleveren, hoeveel

drive-in balies Center Parks nodig heeft om zijn gastenstroom op vrijdagmiddag te verwerken of hoe groot de bezettingsgraad in een ziekenhuis mag worden voordat er ernstige wachttijden ontstaan.

De hoogleraar is zelf nogal gecharmeerd van zijn laatste opdracht: het mobiele telefoonnet. Er is voor de gsm'tjes maar een beperkt aantal frequentiekanalen beschikbaar, niet veel meer dan honderd. Om die zo efficiënt mogelijk te gebruiken is Nederland in cellen ingedeeld, waarbij elke cel een stuk of dertig frequenties heeft. Naburige cellen hebben verschillende frequenties, net zoals landen in een atlas verschillende kleuren hebben. En net zo goed als dat je met vier kleuren de hele wereldkaart kunt inkleuren, kun je met die paar frequenties de hele wereld bedienen, zonder dat twee gesprekken elkaar storen.

Er is één probleem: gebruikers van mobiele telefoons bewegen, en kunnen dus van de ene naar de andere cel lopen. Tijdens de overgang moeten ze uit de nieuwe cel een frequentie krijgen toegewezen, anders eindigt hun telefoongesprek. Het wachten op een nieuwe frequentie mag dus niet langer duren dan de tijd dat de beller zich in het overgangsgebied tussen twee cellen bevindt. Vraag: wat is de ideale celgrootte, waarbij dit zo min mogelijk gebeurt?

Voor Van Dijk is het probleem vooral prikkelend omdat dit hele vakgebied is ontstaan uit de telefonie. Ook in de beginjaren van de telefoon bestond er behoefte aan structurering van het net: als er zoveel abonnees zijn, hoeveel operators heb je dan nodig en hoe groot is dan de wachttijd? Uit die vraag is de wiskunde van het wachten ontstaan. Een tijdlang waren de vragen niet relevant, omdat het netwerk zo'n grote capaciteit had. Maar nu zijn ze weer actueel.

Meer over

Wilt u iets delen met Trouw?

Tip hier onze journalisten

Op alle verhalen van Trouw rust uiteraard copyright. Linken kan altijd, eventueel met de intro van het stuk erboven.
Wil je tekst overnemen of een video(fragment), foto of illustratie gebruiken, mail dan naar copyright@trouw.nl.
© 2019 DPG Media B.V. - alle rechten voorbehouden