Jan en Daan

De natuur gedraagt zich soms logaritmisch, en dat vinden wij maar lastig te begrijpen

Daan van Eijk en Jan Beuving.

Daan van Eijk en Jan Beuving vormden samen het (wetenschaps)cabaretduo Jan & Daan. Jan is wiskundige en theatermaker. Daan is natuurkundige aan de University of Wisconsin in Madison, VS. Om de week stellen zij elkaar hier een vraag.

Dag Jan,

Mensen uit de generatie van vóór de rekenmachine hebben waarschijnlijk wel­eens van het woord logaritmetafel gehoord. Zo’n logaritmetafel is niets meer dan een grote tabel met getallen en is ontzettend handig: ingewikkelde berekeningen kun je opdelen in stukjes en de antwoorden op de stukjes kun je vinden in die tabellen. Vroeger had je op school in plaats van een rekenmachine een boek vol met dat soort tabellen. De eerste tabellen in het boek beginnen met het cijfer 1 en het boek eindigt met de tabellen voor begincijfer 9. Kortom: een boek uit het horrorgenre als wiskunde niet je hobby is.

In 1881 pakte de Canadees-Amerikaanse astronoom en wiskundige Simon Newcomb zo’n boek met logaritmetafels uit de kast om iets uit te rekenen. Maar toen gebeurde er iets bijzonders. Bij het openslaan van het boek viel hem op dat de pagina’s aan het begin van het boek veel meer afgesleten waren dan de latere pagina’s. De getallen met begincijfer 1 werden veel vaker geraadpleegd dan die met begincijfer 9!

Het blijkt dat dit heel vaak voorkomt bij lijsten met getallen. Maak bijvoorbeeld een lijst met de lengtes van rivieren op aarde, of een lijst met sterftecijfers, huizenprijzen of bedragen op telefoonrekeningen. Als je naar de getallen in de lijsten kijkt, dan zul je zien dat 30% met een 1 begint en slechts 5% met een 9. Deze wetmatigheid heet de wet van Benford en is dus niet vernoemd naar de eerste ontdekker, Newcomb. Maar dat is niet wat me het meest dwarszit. Wat me dwarszit is dat ik niks van de wetmatigheid begrijp. Waarom is er niet evenveel kans dat een willekeurig meetbaar getal met een 5 of met een 8 begint? Met andere woorden: waarom is de verdeling van begincijfers niet uniform?

Het blijkt niet uit te maken in welke eenheid je meet: of je de telefoonrekeningen nou in euro’s of dollars of lira’s uitdrukt, je vindt altijd dezelfde wetmatigheid. Ter afsluiting nog maar een voorbeeld: de wereldberoemde rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5...? Voldoet exact aan de wet van Benford. Ik snap er niks van. Jij wel, Jan?

Daan!

Je kunt op twee manieren naar dit soort wetmatigheden kijken: anekdotisch en wetenschappelijk. Laten we anekdotisch beginnen. Van de afgelopen 1000 jaartallen begint 98 procent met een 1. Voetbaluitslagen zullen vaak een 1 hebben omdat twee keer scoren nu eenmaal niet altijd lukt – vraag het Ajax. En neem nou de huizenprijzen die je noemt. De gemiddelde huizenprijs in Nederland is rond de drie ton. Daar zijn de cijfers die met 2, 3 en 4 beginnen in de meerderheid. Maar: alles tussen 1 en 2 miljoen begint met een 1. Van alle getallen tussen 0 en 2.000.000 begint meer dan de helft met een 1! Als je alle getallen tussen 0 en oneindig bekijkt, zijn de begincijfers uniform verdeeld. Maar zelf gebruik ik vaker getallen tussen 0 en 2.000.000 dan tussen 2.000.000 en oneindig. En vergelijk het eens met de taal – daar is de ene beginletter toch ook zeldzamer dan de andere?

Tot zover wat schetsen bij mijn intuïtie. De wetenschappelijke verklaring is een stuk lastiger. De Amerikaanse wiskundige Ted Hill heeft de meest voor de hand liggende verklaring gegeven. Die verklaring is veel te ingewikkeld voor deze column (lees: voor mij), maar dat hij zijn belangrijkste publicaties in 1995 en 1998 deed heeft de data nog verder bevestigd.

Je zegt iets belangrijks in je vraag: voor de wet van Benford maakt het niet uit in welke eenheid je meet. Dat maakt mijn anekdotische bewijs ook zo zwak: in andere getalstelsels of jaarrekeningen houden de voorbeelden geen stand - maar de wet van Benford wel! Dat maakt de wet zo bijzonder. Kijken we iets preciezer naar de wet, dan zegt Benford dat de begingetallen logaritmisch verdeeld zijn. De 1 komt vaker voor dan de 2 als begincijfer, de 2 vaker dan de 3, enzovoort. (Letterlijk is een logaritme een verhoudingsgetal.)

Benford observeerde enkel dat de natuur zich blijkbaar logaritmisch gedraagt – hij had zelf geen bewijs. Ter illustratie daarvan nog dit: bij ‘bedachte’ getallen, zoals lottogetallen, telefoonnummers of postcodes doet de wet geen opgeld. De natuur gedraagt zich soms logaritmisch, het menselijke brein blijkbaar niet. Misschien dat we er daarom zo weinig van begrijpen.

Lees hier meer prangende vragen en snedige antwoorden van Daan van Eijk en Jan Beuving.

Meer over

Wilt u iets delen met Trouw?

Tip hier onze journalisten

Op alle verhalen van Trouw rust uiteraard copyright. Linken kan altijd, eventueel met de intro van het stuk erboven.
Wil je tekst overnemen of een video(fragment), foto of illustratie gebruiken, mail dan naar copyright@trouw.nl.
© 2019 DPG Media B.V. - alle rechten voorbehouden